álgebra de booleana

¿Qué es el álgebra booleana y para qué sirve?

¿Qué es el algebra booleana?

El álgebra booleana o también conocida como álgebra de boole, es un sistema matemático que se utiliza para representar cualquier circuito lógico en forma de ecuaciones algebraicas, es decir, es una herramienta que nos ayuda a resolver y a simplificar cualquier tipo de problema que se nos presente dentro de los sistemas digitales. Por ejemplo, tenemos que crear un sistema en el cual un foco encienda a través de dos interruptores, ya sea que esté activado cualquiera de los interruptores, pero no pueden estar activados los dos al mismo tiempo.

Foco interrptor

Para llegar a la solución, primero hacemos una tabla con todas las posibles combinaciones de los interruptores y en cual de estas se enciende el foco, una vez identificado el o los estados en los cuales enciende, se toman las variables y se crea la ecuación tomando en cuenta que los 0 son iguales a la variable negada (A’) y los 1 son la variable normal (A). Para poder traducir estas ecuaciones a un circuito de compuertas lógicas, solo basta con saber que las negaciones son compuertas NOT, las sumas OR y las multiplicaciones AND

Algebra de boole

Leyes fundamentales del álgebra booleana

Estás leyes del álgebra de boole fueron creadas para comprender mejor a los sistemas digitales y también para poder simplificar de una mejor manera los circuitos lógicos, ya que si no, tendríamos que utilizar decenas de compuertas, cosa que en la mayoría de las ocasiones es indeseable.

Leyes basadas en la compuerta OR

Estas cuatro reglas se basan por representar el funcionamiento de una compuerta OR, cabe mencionar que se expresan con la variable “A”, pero bien puede ser cualquier variable, por ejemplo, D + 0 = D o
X + 0 = X

  • 1- A + 0 = A
  • 2- A + 1 = 1
  • 3- A + A = A
  • 4- A + A’ = 1

Leyes basadas en la compuerta AND

Basan su funcionamiento en la compuerta AND

  • 5- A . 0 = 0
  • 6- A . 1 = A
  • 7- A . A = A
  • 8- A . A’ = 0

Ley basadas en la compuerta NOT

Esta ley describe el funcionamiento de la compuerta NOT

  • 9- A” = A

Leyes o Teorema de De morgan (NAND y NOR)

Estos teoremas son llamados así en honor al personaje que los descubrió y se basan en el funcionamiento de las compuertas NAND y NOR

  • 10- (A + B)’ = A’ . B’
  • 11- (A . B)’ = A’ + B’

Ley de propiedad distributiva

  • 12- A.B + A.C = A (B + C)
álgebra booleana

Leyes conmutativas de suma y multiplicación

  • A + B = B + A
  • A . B = B . A

Leyes asociativas de suma y multiplicación

  • A (B + C) = (A + B) + C
  • A(B . C) = (A . B)C

Ejemplos de simplificación

A continuación veremos unos ejemplos sencillos de como aplicar las leyes del álgebra de boole para simplificar circuitos de compuertas lógicas.

1- A + AB + AB’C

El primer paso que tenemos que hacer es identificar si es que alguna de las variables se repite en los tres grupos, como en este ejemplo la variable A se repite debemos hacer una factorización A (1 + B + B’C), una vez factorizado utilizamos la ley número 2 que dice que a cualquier variable que se le sume un 1 es igual a 1 (A + 1 = 1) entonces la ecuación quedaría A.(1) que equivale a la regla 6 A.1= A, al final de la simplificación del circuito nos damos cuenta que solo equivale a un cable con la variable A.

ejemplo algebra boole

2- (X + Y’) Z + XY’Z

En este ejercicio el primer paso es resolver la multiplicación (X + Y)Z quedando así XZ + Y’Z + XY’Z, Como segundo paso buscamos un factor común en la ecuación, encontrando que Y’Z se repite en el segundo y tercer grupo quedando la ecuación XZ + Y’Z (1 + X), utilizamos la regla 2 (A + 1 =1) que equivale a
XZ + Y’Z (1), ahora utilizamos la regla 6 (A.1=A) XZ + Y’Z

ejemplo algebra boole

Circuito Lógico

Cuando solo tenemos un circuito de compuertas lógicas pero no tenemos la ecuación, el primer paso que debemos de hacer convertir el circuito. Siempre debemos de acordarnos que las compuertas AND hacen referencia a las multiplicaciones, la compuertas NOT hacen referencia a una negación y las compuertas OR son una sumatoria. Cabe mencionar que nosotros podemos elegir las variables que queramos utilizar, por ejemplo A, B y C o X, Y y Z incluso F, G y H, etc.

Una vez obtenida la ecuación (BA + ABC’) podemos observar que es bastante sencilla de resolver, ya que se repiten las variables A y B en los dos grupos, esto nos indica que podemos factorizar quedando
BA (1 + C), como siguiente paso debemos utilizar la ley fundamental de las sumatorias que dice que
A + 1 = 1, entonces la ecuación quedaría BA (1), que equivale a la ley número 6 (A . 1 = A), en este caso la letra A corresponde a nuestras variables BA quedando como resultado final BA.

ejercicio algebra de boole

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